Escrito por Rai Viernes, 20 de Noviembre de 2009 20:18

Razonamiento matemático - Demostraciones falsas

Esta demostración se realiza partiendo de un triángulo rectángulo isósceles sobre cuya hipotenusa se van construyendo una sucesión de escaleras.

Cada cateto de este triángulo rectángulo mide 1. Por lo tanto, sabemos por el teorema de Pitágoras que  la hipotenusa mide

Sobre la hipotenusa se construye una primera escalera de 2 escalones, como se indica en la figura

Si medimos la escalera, la longitud total es de 4 · 0.5 = 2 unidades.

Construyamos una segunda escalera que en esta ocasión tendrá 4 escalones,

En este caso la longitud de la escalera es 8 · 0.25 = 2 unidades.

De nuevo hagamos lo mismo, pongamos ahora 8 escalones,

¿Cuál es la longitud de la escalera? Sí, de nuevo es 2,  pues es 16 · 1/8 = 2.

De forma que si seguimos construyendo escaleras de este tipo, duplicando en cada paso el número de escalones, siempre tendremos escaleras cuya longitud total será 2.

Pero si este proceso lo hacemos infinitamente nos encontraremos con que la escalera que mide 2 unidades se confundirá con la hipotenusa que mide

Por lo que podremos afirmar que

Esta demostración evidentemente es falsa ya que por mucho que nos aproximemos a la hipotenusa nunca se podrá confundir la escalera con el segmento al no ser la primera una línea recta.